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Wer hat Kalkül vor Newton erfunden

Isaac Newton und Gottfried Leibniz erfanden Mitte des 17. Jahrhunderts unabhängig voneinander die Analysis. Eine reiche Geschichte und Besetzung von Charakteren, die an der Entwicklung des Kalküls beteiligt waren, ging den Beiträgen dieser einzelnen Individuen voraus und folgte ihnen. Euklids Elemente Wir wissen, dass Newton 1661 ... Bücher über Descartes 'Mathematik las. In den Jahren, in denen Hobbes in England gegen Wallis um die unteilbare Linie kämpfte, führte die Gesellschaft Jesu ihre eigene Kampagne gegen die unendlich Kleinen in katholischen Ländern.

Noch in den 1730er Jahren ... verspottete George Berkeley Mathematiker wegen ihrer Verwendung von Infinitesimalen ... Er stellte sich gegen diese nAruto uzumaki prominentesten Mathematiker und Philosophen jener Zeit, die sich für die Verwendung der infinitesimal kleinen einsetzten. Dazu gehörten neben Wallis: Amir Alexander, Infinitesimal: Sie glaubten an eine einheitliche und feste Ordnung in der Welt, sowohl natürlich als auch menschlich, und waren entschieden gegen Infinitesimale.

Auf der anderen Seite standen vergleichende "Liberalisierer" wie Galileo, Wallis und die Newtonianer. Sie glaubten an eine pluralistischere und flexiblere Ordnung, die eine Reihe von Ansichten und verschiedenen Machtzentren berücksichtigen könnte, und befürworteten teri ore teri orre und ihre Verwendung in der Mathematik. Die Linien wurden gezogen, und ein Sieg für die eine oder andere Seite würde die Welt für die kommenden Jahrhunderte prägen.

Wie eine gefährliche mathematische Theorie die moderne Welt prägte 2014 B [Bearbeiten] [Joseph-Louis Lagranges] Vorlesungen über Differentialrechnung bilden die Grundlage seiner Theorierechnung, eine Gruppe von Theoremen, die auf der Entwicklung algebraischer Funktionen in Reihen basieren.

Ein etwas ähnliches, das John Landen zuvor in seiner Residual Analysis verwendet hatte ... Lagrange glaubte, dass er es könnte ... Diese Arbeiten können als Ausgangspunkt für die Forschungen von Cauchy, Jacobi und Weierstrass angesehen werden.

Alles erscheint dann als geordneter Fortschritt ... Professionelle Historiker neigen manchmal dazu, die Glätte der Kurve zu überbetonen; Professionelle Mathematiker, die sich der dominanten Rolle bewusst sind, die die Singularitäten von Kurven in der Geometrie spielen, kümmern sich um die Diskontinuitäten.

Dass solche Unterschiede bestehen sollten, ist keine Katastrophe. Dissens ist gut für die Seelen aller Beteiligten. Es wurde schnell von dem von Fermat abgelöst, wie es von Newton verstärkt wurde.

Die Methode von Fermat läuft darauf hinaus, eine Tangente als Grenzposition einer Sekante zu erhalten, genau wie dies heute im Kalkül der Fall ist. Fermats Tangentenmethode ist die Grundlage für die Behauptung, dass er Newton bei der Erfindung der Differentialrechnung vorweggenommen habe. Eric Temple Bell, Die Entwicklung der Mathematik 1940 Archimedes war der früheste Denker, der den Apparat einer unendlichen Reihe mit einer endlichen Grenze entwickelte ... Von den Riesen, auf deren Schultern Isaac Newton schließlich sitzen würde, war Archimedes der erste.

Alex Bellos, Die Trauben der Mathematik 2014 Die grundlegenden Definitionen des Kalküls, die der Ableitung und des Integrals, sind jetzt in Lehrbüchern zu diesem Thema so klar angegeben ... Carl B. Die Genauigkeit der Aussage und die Anwendungsmöglichkeit, die den Regeln unterliegen des früh geleisteten Kalküls waren in gewissem Maße dafür verantwortlich, dass Mathematiker unempfindlich gegenüber den heiklen Feinheiten waren, die für die logische Entwicklung erforderlich waren ...

Sie versuchten, einen Kalkül in Bezug auf die Konzepte der traditionellen Geometrie und Algebra zu etablieren, die aus der räumlichen Intuition entwickelt worden waren. So wie das Problem der Definition von Momentangeschwindigkeiten in Bezug auf die Approximation von Durchschnittsgeschwindigkeiten zur Definition der Ableitung führen sollte, so sollte das Problem der Definition von Längen, Flächen und Volumina krummliniger Konfigurationen zur Bildung des bestimmten Integrals führen.

Diese Definition ruft dann, abgesehen von den gewöhnlichen Operationen der Arithmetik, nur das Konzept der Grenze einer unendlichen Folge von Begriffen auf, genau wie das der Ableitung. Die Erkenntnis dieser Tatsache folgte jedoch erst nach vielen Jahrhunderten der Untersuchung durch Mathematiker. Fermat griff auf das Prinzip der Ökonomie der Natur zurück. Heron und Olympiodorus hatten in der Antike darauf hingewiesen, dass das Licht in der Reflexion dem kürzestmöglichen Weg folgte und somit die Winkelgleichheit berücksichtigte.

Während des Mittelalters hatten Alhazen und Grosseteste vorgeschlagen, dass bei der Brechung auch ein solches Prinzip funktioniert, aber sie konnten das Gesetz nicht entdecken.

Fermat kannte jedoch nicht nur durch Descartes das Gesetz der Brechung, sondern erfand auch ein Verfahren - äquivalent zur Differentialrechnung - zur Maximierung und Minimierung einer Funktion einer einzelnen Variablen. Fermat wandte seine Methode an ...

Obwohl das Gesetz dasselbe ist, wird angemerkt, dass die Hypothese der von Descartes widerspricht. Fermat nahm an, dass die Lichtgeschwindigkeit in Wasser geringer ist als in Luft; Descartes 'Erklärung implizierte das Gegenteil.

Boyer, Der Regenbogen: Vom Mythos zur Mathematik 1959 Die Variationsrechnung verdankte ihren Ursprung dem Versuch, eine sehr interessante und ziemlich enge Klasse von Problemen in Maxima und Minima zu lösen, in der es erforderlich ist, die Form einer solchen Funktion zu finden, dass Das bestimmte Integral eines Ausdrucks, an dem diese Funktion und ihre Ableitung beteiligt sind, muss ein Maximum oder ein Minimum sein. C [Bearbeiten] Methoden zum Zeichnen von Tangenten wurden von Roberval und Fermat ...

Descartes gab eine dritte Methode. Von allen Problemen, die er durch seine Geometrie löste, bereitete ihm keines so viel Freude wie seine Art, Tangenten zu konstruieren. Es ist tiefgreifend, aber operativ und deshalb Fermats unterlegen.

Seine Lösung beruht auf der Methode der unbestimmten Koeffizienten, von denen er die Ehre der Erfindung trägt. Unbestimmte Koeffizienten wurden von ihm auch zur Lösung von bi-quadratischen Gleichungen verwendet.

Jeder großen Epoche im Fortschritt der Wissenschaft geht eine Phase der Vorbereitung und Vorbeugung voraus. Die Erfindung der Differential- und Integralrechnung soll eine "Krise" in der Geschichte der Mathematik markieren. Die Konzepte, die zu dieser großen Zeit in die Tat umgesetzt wurden, waren lange in Vorbereitung. Die fließende Idee kommt unter den Schulmännern vor - unter Galileo, Roberval, Napier, Barrow und anderen. Die Unterschiede oder Unterschiede von Leibniz finden sich in roher Form bei Cavalieri, Barrow und anderen.

Der unentwickelte Begriff der Grenzen ist in der alten Methode der Erschöpfung enthalten; Grenzen finden sich in den Schriften von Gregory St.

Vincent und viele andere. Die Geschichte der Konzepte, die zur Erfindung des Kalküls geführt haben, ist so umfangreich, dass ein großer Band darauf geschrieben werden könnte. Er setzt seine Schlussfolgerungen im ersten Satz kursiv wie folgt: Isaac Barrow war der erste Erfinder des Infinitesimalkalküls ... Bevor er eine Prüfung der von Child vorgebrachten Beweise durchführt, kann es von Interesse sein, eine ähnliche Behauptung zu überprüfen, für die er aufgestellt wurde ein anderer Mann als Erfinder des Kalküls ...

Fermat wurde von Lagrange, Laplace und anscheinend auch von P. Tannery zum ersten Erfinder des Kalküls erklärt, als den kein besseres mathematisches Triumvirat mehr zu finden ist.

Dinostratus und Barrow waren kluge Männer, aber es scheint uns, dass sie nicht das geschaffen haben, was nach gemeinsamer Vereinbarung der Mathematiker mit dem Begriff Differential- und Integralrechnung bezeichnet wurde. Zwei Prozesse, die äquivalente Ergebnisse liefern, sind nicht unbedingt gleich. Es scheint uns, dass von Barrow gesagt werden kann, dass er eine Reihe von geometrischen Theoremen ausgearbeitet hat, die uns Konstruktionen vorschlagen, mit denen wir Linien, Flächen und Volumina finden können, deren Größen normalerweise durch die analytischen Prozesse des Kalküls gefunden werden.

Zu sagen, dass Barrow einen Differential- und Integralkalkül erfunden hat, bedeutet, der Gewohnheit des mathematischen Denkens und Ausdrucks von über zwei Jahrhunderten Gewalt anzutun. Die Erfindung gehört zu Recht Newton und Leibniz. Das klassische Beispiel ist das ...

Ein anderer Fall ist die Entwicklung der Vektorrechnung in Grassmanns Ausdehnungslehre und Hamiltons Quaternionsrechnung. Ebenso finden wir analytische Geometrie, die gleichzeitig von Fermat und Descartes entwickelt wurde.

D [Bearbeiten] In der Methode der Erschöpfung besaß Archimedes alle Elemente, die für eine infinitesimale Analyse wesentlich sind. So ist im Fall der Peripherie eines Kreises ...

Archimedes greift den Umfang zwischen zwei Sätzen regelmäßiger Polygone mit immer mehr Seiten ... Mit dieser Methode fand er auch den Bereich unter einem Parabolbogen ... Tobias Dantzig, Nummer: Die Sprache der Wissenschaft 1930 Die Aussage wird so häufig gemacht dass sich die Differentialrechnung mit der kontinuierlichen Größe befasst und dennoch keine Erklärung für diese Kontinuität gegeben wird; Selbst die strengsten Darstellungen des Differentialkalküls stützen ihre Beweise nicht auf Kontinuität, sondern appellieren mit mehr oder weniger bewusstem Sachverhalt entweder an geometrische Begriffe oder an solche, die von der Geometrie vorgeschlagen werden, oder hängen von Theoremen ab, die niemals rein begründet sind arithmetische Weise.

Es blieb dann nur noch, seinen wahren Ursprung in den Elementen der Arithmetik zu entdecken und damit gleichzeitig eine wirkliche Definition des Wesens der Kontinuität zu sichern. Es gelang mir im November. Wenn ein Kegel durch Flächen parallel zur Basis geschnitten wird, wie sind dann die Abschnitte gleich oder ungleich? Wenn sie ungleich sind, hätte der Kegel die Form einer Treppe; aber wenn sie gleich wären, wären alle Abschnitte gleich, und der Kegel würde wie ein Zylinder aussehen, der aus gleichen Kreisen besteht; aber das ist völlig unsinnig.

Demokrit ca. Arnold Dresden. Die Methode von Lagrange ... Aber unabhängig von der Vorstellung, dass Grenzen selbst für die richtige Konzeption einer konvergenten Reihe absolut notwendig sind, muss es Lagrange selbst klar genug gewesen sein, dass jede Anwendung der Wissenschaft auf konkrete Größenordnungen auch in sein eigenes System erforderte die Theorie der Grenzen.

Ist es immer richtig, jeden Zweig eines direkten Subjekts zu lernen, bevor etwas in Betracht gezogen wird, das mit der umgekehrten Beziehung zusammenhängt? Wenn ja, warum werden Multiplikation und Involution in der Arithmetik nicht so ausgeführt, dass sie der Addition folgen und der Subtraktion vorausgehen? Der Teil des Integralkalküls, der zu einem bestimmten Teil des Differentialkalküls gehört, erhöht seine Leistung um das Hundertfache ...

Und wenn die Werteserie nacheinander zunimmt, so dass jede beliebige Menge, wie groß sie auch sein mag, nach einem bestimmten Punkt größer wird, dann soll die Reihe unbegrenzt zunehmen. Es wird auch häufig gesagt, wenn eine Größe unbegrenzt abnimmt, dass sie nichts, null oder 0, für ihre Grenze hat: Augustus De Morgan, Die Differential- und Integralrechnung 1836 EG [Bearbeiten] Kepler stellte sich eine gegebene geometrische Figur vor, in die zerlegt werden soll Infinitesimalzahlen, deren Flächen oder Volumen er ad hoc addiert hat, um die Fläche oder das Volumen zu erhalten ...

Cavalieri stellte eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den unteilbaren Elementen zweier geometrischer Figuren her. Wenn die entsprechenden Unteilbaren der beiden Figuren ein bestimmtes konstantes Verhältnis hatten, kam er zu dem Schluss, dass die Volumenbereiche einer der Figuren das gleiche Verhältnis hatten. Typischerweise war die Fläche oder das Volumen einer der Figuren im Voraus bekannt, so dass sich die andere ergab.

Kepler dachte, eine geometrische Figur bestehe aus Unteilbaren derselben Dimension [wie die ursprüngliche Figur] ... Cavalieri betrachtete eine geometrische Figur jedoch im Allgemeinen als aus einer unendlich großen Anzahl von Unteilbaren niedrigerer Dimension zusammengesetzt.

Rigorosität, schrieb er in den Exercitationes, ist eher eine Angelegenheit der Philosophie als der Mathematik. Edwards, Jr. Somit entspricht die Summe der aufeinanderfolgenden Differenzen der Differenz des ersten und des letzten Terms der ursprünglichen Sequenz. Sein Ergebnis in Bezug auf die Summe der Unterschiede deutete ebenfalls darauf hin, dass ...

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